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  Homepage > SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI - Roma - Università la Sapienza > ANALISI NUMERICA > FINZI VITA > Consulta domande Voto medio facoltà: 23
 
 
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DOMANDE ESAME: ANALISI NUMERICA       FINZI VITA STEFANI

 
Domande del: 22/6/2015 Tipo Chiesto da Seconda prova in itere
Considerando una matrice a valori complessi: calcolandone le norme 1, ∞ e di Frobenius. Quindi, utilizzando i teoremi dei cerchi di Gershgorin (a) mostrare che la matrice `e non singolare; (b) dimostrare che non possiede autovalori reali negativi n´e autovalori multipli; (c) indicare un possibile valore dello shift µ per calcolare col metodo delle potenze inverse l’autovalore con la parte immaginaria pi`u grande. S  
Di una funzione f(x) si conoscono i seguenti valori f(0) = 0, f(1/3) = 1/2, f(2/3) = 1, f(1) = 1/2; (a) costruire a partire da essi il polinomio interpolatore di Lagrange di grado 3 di f e calcolarne il valore nel punto x0 = 1/2; (b) ricavare un valore approssimato dell’integrale di f sull’intervallo (0, 1) utilizzando l’opportuna formula di Newton-Cotes relativa agli stessi nodi. S  
Si consideri un metodo iterativo della forma: (∗) xk+1 = φ(xk), x0 ∈ I . Dimostrare che se α `e un punto fisso per la funzione φ(x) : I → I di classe C 1 , allora per ogni punto iniziale x0 sufficientemente vicino ad α: (a) se 0 < φ0 (α) < 1 allora xk → α in modo monotono; (b) se −1 < φ0 (α) < 0 allora xk → α in modo oscillante. Presa la funzione φ(x) = 2−x , mostrare che essa ammette un unico punto fisso in (0,∞), e partendo da x0 = 1 in (*) dedurre una stima per difetto e una per eccesso di esso. S  
Ricavare il metodo numerico a un passo di Crank-Nicolson per la risoluzione di un problema di Cauchy, calcolandone l’ordine di consistenza. Descriverne poi la sua implementazione pratica, inserendo un possibile listato Matlab al riguardo. S  
Domande del: 4/6/2015 Tipo Chiesto da Seconda prova in itere
Dimostrare che la funzione φ(x) = sin(x/2 + 1) ammette un unico punto fisso α nell’intervallo I = [−π/2, π/2] e che la successione definita da xk+1 = φ(xk) convergerà ad α per ogni scelta del dato iniziale x0 ∈ I. S  
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